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M point mobile dans le référentiel \(\mathcal{R}\) et O point fixe dans \(\mathcal{R}\)
Référentiel	Solide utilisé comme référence pour décrire le mouvement. Ce solide est virtuellement extensible à l'infini dans toutes les directions.
Repère	Base mathématique utilisée pour projeter les équations du mouvement dans un référentiel donné. Un repère peut être mobile dans le référentiel considéré (cas des repères cylindriques et sphériques). Repère cartésien Volume élémentaire Repère cylindrique Volume élémentaire Repère sphérique Volume élémentaire Orientation du plan
Vecteur position	\( \vec r = \overrightarrow{OM} \)
Vecteur vitesse	\( \vec v_\left( M/{\mathcal{R}} \right) = \left( \displaystyle\frac{d\vec r}{dt} \right)_{\mathcal{R}} \)
Vecteur accélération	\( \vec a_\left( M/{\mathcal{R}} \right) = \left( \displaystyle\frac{d^2\vec r}{d t^2} \right)_{\mathcal{R}} \)

M point mobile dans le référentiel \(\mathcal{R}\) et O point fixe dans \(\mathcal{R}\)

Référentiel

Solide utilisé comme référence pour décrire le mouvement.
Ce solide est virtuellement extensible à l'infini dans toutes les directions.

Repère

Base mathématique utilisée pour projeter les équations du mouvement dans un référentiel donné.
Un repère peut être mobile dans le référentiel considéré (cas des repères cylindriques et sphériques).
Repère cartésien Volume élémentaire
Repère cylindrique Volume élémentaire
Repère sphérique Volume élémentaire

Orientation du plan

Vecteur position

\( \vec r = \overrightarrow{OM} \)

Vecteur vitesse

\( \vec v_\left( M/{\mathcal{R}} \right) = \left( \displaystyle\frac{d\vec r}{dt} \right)_{\mathcal{R}} \)

Vecteur accélération

\( \vec a_\left( M/{\mathcal{R}} \right) = \left( \displaystyle\frac{d^2\vec r}{d t^2} \right)_{\mathcal{R}} \)

Coordonnées polaires
Vecteur position	\( \vec r = r\,\vec e_r \)
Vecteur vitesse	\( \vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot \theta \,\vec e_\theta \)
Vecteur accélération	\( \vec a = (\ddot r - r{\dot \theta ^2})\,\vec e_r + (2\dot r\dot \theta + r\ddot \theta )\,\vec e_\theta \)

Coordonnées polaires

Vecteur position

\( \vec r = r\,\vec e_r \)

Vecteur vitesse

\( \vec v = \dot r\,\vec e_r + r\dot \theta \,\vec e_\theta \)

Vecteur accélération

\( \vec a = (\ddot r - r{\dot \theta ^2})\,\vec e_r + (2\dot r\dot \theta + r\ddot \theta )\,\vec e_\theta \)

Mouvement circulaire
Vecteur position	\( \vec r = r\,\vec e_r \)
Vecteur vitesse	\( \vec v = r\dot \theta \,\vec e_\theta = r\omega \,\vec e_\theta \) où \( \omega = \dot \theta \) vitesse angulaire Expression équivalente : \( \vec v = \vec \omega \wedge \overrightarrow {OM}\) \( v = r \omega \)
Vecteur accélération	\( \vec a = - r\dot \theta ^2\,\vec e_r + r\ddot \theta \,\vec e_\theta = - r\omega ^2\,\vec e_r + r\dot \omega \,\vec e_\theta \) \( \vec a = - r\omega ^2\,\vec e_r \) pour un mouvement uniforme

Mouvement circulaire

Vecteur position

\( \vec r = r\,\vec e_r \)

Vecteur vitesse

\( \vec v = r\dot \theta \,\vec e_\theta = r\omega \,\vec e_\theta \) où \( \omega = \dot \theta \) vitesse angulaire
Expression équivalente : \( \vec v = \vec \omega \wedge \overrightarrow {OM}\)
\( v = r \omega \)

Vecteur accélération

\( \vec a = - r\dot \theta ^2\,\vec e_r + r\ddot \theta \,\vec e_\theta = - r\omega ^2\,\vec e_r + r\dot \omega \,\vec e_\theta \)
\( \vec a = - r\omega ^2\,\vec e_r \) pour un mouvement uniforme

M de masse m animé de \( \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\), O point fixe dans \(\mathcal{R}\) et Δ axe fixe dans \(\mathcal{R}\) passant par O
Quantité de mouvement	\( \vec p_{(M/{\mathcal{R}})} = m\,\vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \)
Moment cinétique en O	\( {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} = \overrightarrow {OM} \wedge {\vec p_{(M/\mathcal{R})}} = \overrightarrow {OM} \wedge m\,{\vec v_{(M/\mathcal{R})}} \)
Moment cinétique par rapport à Δ	\( {L_\Delta }_{(M/\mathcal{R})} = {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} \cdot {\vec e_\Delta } \)

M de masse m animé de \( \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\), O point fixe dans \(\mathcal{R}\) et Δ axe fixe dans \(\mathcal{R}\) passant par O

Quantité de mouvement

\( \vec p_{(M/{\mathcal{R}})} = m\,\vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \)

Moment cinétique en O

\( {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} = \overrightarrow {OM} \wedge {\vec p_{(M/\mathcal{R})}} = \overrightarrow {OM} \wedge m\,{\vec v_{(M/\mathcal{R})}} \)

Moment cinétique par rapport à Δ

\( {L_\Delta }_{(M/\mathcal{R})} = {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} \cdot {\vec e_\Delta } \)

Solide S de moment d'inertie \(J_\Delta\) animé de \( \omega \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) par rapport à l'axe Δ fixe dans \(\mathcal{R}\)
Moment d'inertie de S par raport à Δ	\( {J_\Delta } = \sum\limits_i {{m_i}r_i^2} \)
Moment cinétique par rapport à Δ	\( {L_\Delta }_{(S/\mathcal{R})} = {J_\Delta }\omega \)

Solide S de moment d'inertie \(J_\Delta\) animé de \( \omega \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) par rapport à l'axe Δ fixe dans \(\mathcal{R}\)

Moment d'inertie de S par raport à Δ

\( {J_\Delta } = \sum\limits_i {{m_i}r_i^2} \)

Moment cinétique par rapport à Δ

\( {L_\Delta }_{(S/\mathcal{R})} = {J_\Delta }\omega \)

Point M de masse m en mouvement circulaire de rayon r à \( \omega = \dot \theta\) autour de \( \Delta = (O, \vec e _z) \)
Moment cinétique en O	\( {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} = m r^2 \dot \theta \, \vec e _z \)
Moment cinétique par rapport à Δ	\( {L_\Delta }_{(M/\mathcal{R})} = m r^2 \dot \theta \)

Point M de masse m en mouvement circulaire de rayon r à \( \omega = \dot \theta\) autour de \( \Delta = (O, \vec e _z) \)

Moment cinétique en O

\( {\overrightarrow L _O}_{(M/\mathcal{R})} = m r^2 \dot \theta \, \vec e _z \)

Moment cinétique par rapport à Δ

\( {L_\Delta }_{(M/\mathcal{R})} = m r^2 \dot \theta \)

Les contraintes extérieures peuvent être décrites comme un ensemble de forces caractérisé par une résultante (somme des forces) et un moment résultant (somme des moments) en un point ou par rapport à un axe.
Résultante	\( \overrightarrow{\mathcal{R}} _e = \sum\limits_i \vec F_{i} \)
Moment d'une force en O	\( \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O\,}(\vec{F}_{(M)}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow F _{(M)} \)
Loi du moment cinétique par rapport à \( \Delta = (O, \vec u _\Delta )\)	\( \mathcal{M}_{\Delta\,}(\vec{F}_{(M)}) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O\,}(\vec{F}_{(M)}) \cdot \vec u _\Delta \)
Couple	Ensemble de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant est non nul.

Les contraintes extérieures peuvent être décrites comme un ensemble de forces caractérisé par une résultante (somme des forces) et un moment résultant (somme des moments) en un point ou par rapport à un axe.

Résultante

\( \overrightarrow{\mathcal{R}} _e = \sum\limits_i \vec F_{i} \)

Moment d'une force en O

\( \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O\,}(\vec{F}_{(M)}) = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow F _{(M)} \)

Loi du moment cinétique par rapport à \( \Delta = (O, \vec u _\Delta )\)

\( \mathcal{M}_{\Delta\,}(\vec{F}_{(M)}) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O\,}(\vec{F}_{(M)}) \cdot \vec u _\Delta \)

Couple

Ensemble de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant est non nul.

M animé de \( \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) et O point fixe dans \(\mathcal{R}\)
Energie cinétique	\( E_{C \, (M/{\mathcal{R}})} = \frac{1}{2} m v_{(M/{\mathcal{R}})}^2 \)
Travail de \( \vec F \)	\( \delta W(\vec F) = \vec F \cdot d\vec \ell \) travail élémentaire \( W_{A \to B}(\vec F) = \int_A^B {\delta W(\vec F)} = \int_A^B {\vec F \cdot d\vec \ell } \)
Puissance de \( \vec F \) dans R	\( P_{(\vec F/{\mathcal{R}})} = \displaystyle\frac{\delta W}{dt} \Leftrightarrow P_{(\vec F/{\mathcal{R}})} = \vec F \cdot \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \)
Energie potentielle	L'énergie potentielle est associée aux forces \( \vec F \) conservatives définies par : \( \delta W(\vec F) = - dE_P \) \( W_{A \to B}(\vec F) = - \Delta E_P = E_P(A) - E_P(B) \) « le travail est indépendant du chemin suivi pour aller de A à B »
Energie mécanique	\( E_{(M/{\mathcal{R}})} = E_{C \, (M/{\mathcal{R}})} + \sum {E_P}\)
L’énergie cinétique est liée à la vitesse de M, l’énergie potentielle est liée à la position relative du système par rapport au corps avec lequel il interagit.

M animé de \( \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) et O point fixe dans \(\mathcal{R}\)

Energie cinétique

\( E_{C \, (M/{\mathcal{R}})} = \frac{1}{2} m v_{(M/{\mathcal{R}})}^2 \)

Travail de \( \vec F \)

\( \delta W(\vec F) = \vec F \cdot d\vec \ell \) travail élémentaire
\( W_{A \to B}(\vec F) = \int_A^B {\delta W(\vec F)} = \int_A^B {\vec F \cdot d\vec \ell } \)

Puissance de \( \vec F \) dans R

\( P_{(\vec F/{\mathcal{R}})} = \displaystyle\frac{\delta W}{dt} \Leftrightarrow P_{(\vec F/{\mathcal{R}})} = \vec F \cdot \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \)

Energie potentielle

L'énergie potentielle est associée aux forces \( \vec F \) conservatives définies par :
\( \delta W(\vec F) = - dE_P \)
\( W_{A \to B}(\vec F) = - \Delta E_P = E_P(A) - E_P(B) \)
« le travail est indépendant du chemin suivi pour aller de A à B »

Energie mécanique

\( E_{(M/{\mathcal{R}})} = E_{C \, (M/{\mathcal{R}})} + \sum {E_P}\)

L’énergie cinétique est liée à la vitesse de M, l’énergie potentielle est liée à la position relative du système par rapport au corps avec lequel il interagit.

Solide S animé de \( \omega \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) par rapport à l'axe Δ fixe dans \(\mathcal{R}\)
Energie cinétique	\( {E_C}_{(S/\mathcal{R})} = \frac{1}{2}{J_\Delta }\omega ^2 \)
Puissance d'un moment	\( P_{(\mathcal m _\Delta /{\mathcal{R}})} = \mathcal M _\Delta \omega \)

Solide S animé de \( \omega \) dans le référentiel \(\mathcal{R}\) par rapport à l'axe Δ fixe dans \(\mathcal{R}\)

Energie cinétique

\( {E_C}_{(S/\mathcal{R})} = \frac{1}{2}{J_\Delta }\omega ^2 \)

Puissance d'un moment

\( P_{(\mathcal m _\Delta /{\mathcal{R}})} = \mathcal M _\Delta \omega \)

Energies potentielles (voir « Interactions » pour les forces correspondantes)
Poids	\( E_{P_p} = + mgz + cte \) avec Oz vertical ascendant
Ressort	\( E_{P_e} = \displaystyle\frac{1}{2} k(\ell - {\ell _0})^2 + cte \)
Gravitation	\( E_{P_{grav}}(r) = - G \displaystyle\frac{m M}{r} + cte \)
Electrostatique	\( E_{P_{el}}(r) = \displaystyle\frac{q Q}{4\pi \varepsilon _0 \, r} + cte \) \( {E_{P_{el}}}_{(M)} = qV_{(M)} \) où \( V_{(M)} \) est le potentiel électrostatique en M

Energies potentielles (voir « Interactions » pour les forces correspondantes)

Poids

\( E_{P_p} = + mgz + cte \) avec Oz vertical ascendant

Ressort

\( E_{P_e} = \displaystyle\frac{1}{2} k(\ell - {\ell _0})^2 + cte \)

Gravitation

\( E_{P_{grav}}(r) = - G \displaystyle\frac{m M}{r} + cte \)

Electrostatique

\( E_{P_{el}}(r) = \displaystyle\frac{q Q}{4\pi \varepsilon _0 \, r} + cte \)
\( {E_{P_{el}}}_{(M)} = qV_{(M)} \) où \( V_{(M)} \) est le potentiel électrostatique en M

M mobile dans le référentiel \(\mathcal{R}\) *galiléen, O point fixe* dans \(\mathcal{R}\) et Δ axe *fixe* passant par O. Cadre de la mécanique classique : - particule non relativiste (\( v \ll c \), le temps est absolu i.e. indépendant du référentiel) ; - particule non quantique (particule bien localisée, sa tajectoire est définie).
Référentiel galiléen	Référentiel dans lequel les lois de Newton sont valides (sans nécessiter l'introduction de forces d'inertie) à un degré de précision donné. Un référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.
Principe d'inertie	Dans un référentiel galiléen, la vitesse d'un corps soumis à un ensemble de forces de résultante nulle est constante.
Loi de la de la quantité de mouvement	\( \left( \displaystyle\frac{d\vec p_{(M/{\mathcal{R}})}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\vec F}_{i \to M} \)
Loi des actions réciproques	\( \vec F _{M_1 \to M_2} = - \vec F _{M_2 \to M_1} \) et \( \vec F _{M_1 \to M_2} \,\, // \,\, \overrightarrow{M_1 M_2} \)
Loi du moment cinétique en O	\( \left( \displaystyle\frac{d \vec{L}_{O\,\,\left( M/\mathcal{R} \right)}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\overrightarrow{\mathcal{M}_{O\,\,}}_{({\vec F}_{i \to M})}} \) O fixe dans \(\mathcal{R}\) galiléen
Loi du moment cinétique par rapport à Δ	\( \left( \displaystyle\frac{d L_{\Delta \,\,\left( M/\mathcal{R} \right)}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\mathcal{M}_{\Delta \,\,}}_{({\vec F}_{i \to M})} \) Δ fixe dans \(\mathcal{R}\) galiléen

M mobile dans le référentiel \(\mathcal{R}\) galiléen, O point fixe dans \(\mathcal{R}\) et Δ axe fixe passant par O.
Cadre de la mécanique classique :
- particule non relativiste (\( v \ll c \), le temps est absolu i.e. indépendant du référentiel) ;
- particule non quantique (particule bien localisée, sa tajectoire est définie).

Référentiel galiléen

Référentiel dans lequel les lois de Newton sont valides (sans nécessiter l'introduction de forces d'inertie) à un degré de précision donné.
Un référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.

Principe d'inertie

Dans un référentiel galiléen, la vitesse d'un corps soumis à un ensemble de forces de résultante nulle est constante.

Loi de la de la quantité de mouvement

\( \left( \displaystyle\frac{d\vec p_{(M/{\mathcal{R}})}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\vec F}_{i \to M} \)

Loi des actions réciproques

\( \vec F _{M_1 \to M_2} = - \vec F _{M_2 \to M_1} \) et \( \vec F _{M_1 \to M_2} \,\, // \,\, \overrightarrow{M_1 M_2} \)

Loi du moment cinétique en O

\( \left( \displaystyle\frac{d \vec{L}_{O\,\,\left( M/\mathcal{R} \right)}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\overrightarrow{\mathcal{M}_{O\,\,}}_{({\vec F}_{i \to M})}} \)
O fixe dans \(\mathcal{R}\) galiléen

Loi du moment cinétique par rapport à Δ

\( \left( \displaystyle\frac{d L_{\Delta \,\,\left( M/\mathcal{R} \right)}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {\mathcal{M}_{\Delta \,\,}}_{({\vec F}_{i \to M})} \)
Δ fixe dans \(\mathcal{R}\) galiléen

Référentiel \(\mathcal{R}\) *galiléen*
Théorème de l'énergie cinétique	\( \Delta E_C = \sum\limits_i {W(\vec F_{i \to M})} \)
Théorème de l'énergie mécanique	\( \Delta E = \Delta E_C + \Delta E_P = \sum\limits_i {W{(\vec F_{i \to M})_{N.C.}}} \)
Théorème de la puissance cinétique	\( \left( \displaystyle\frac{d{E_C}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {P(\vec F_{i \to M})} \)
Théorème de la puissance mécanique	\( \left( \displaystyle\frac{d{E}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {P(\vec F_{i \to M})_{N.C.}} \)
N.C. = forces *non conservatives*

Référentiel \(\mathcal{R}\) galiléen

Théorème de l'énergie cinétique

\( \Delta E_C = \sum\limits_i {W(\vec F_{i \to M})} \)

Théorème de l'énergie mécanique

\( \Delta E = \Delta E_C + \Delta E_P = \sum\limits_i {W{(\vec F_{i \to M})_{N.C.}}} \)

Théorème de la puissance cinétique

\( \left( \displaystyle\frac{d{E_C}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {P(\vec F_{i \to M})} \)

Théorème de la puissance mécanique

\( \left( \displaystyle\frac{d{E}}{dt} \right)_{\mathcal{R}} = \sum\limits_i {P(\vec F_{i \to M})_{N.C.}} \)

N.C. = forces non conservatives

Interactions fondamentales

Système = particule au point M (masse m = m_M, charge q = q_M) en interaction avec une particule au point P (masse m_P, charge q_P) ou une distribution de masses ou de charges ou un champ électromagnétique
Force de Lorentz	\( \vec F = q\left( \vec E(M,t) + \vec v_{(M/{\mathcal{R}})} \wedge \vec B(M,t) \right) \)
Force gravitationnelle	Loi de Newton \( \vec F_{P \to M} = - G \displaystyle\frac{m_P \, m_M}{r^2} \, \vec e_r \) avec \( r = PM \) \( \vec F_{(M)} = - m \, \vec{\mathcal{G}}_{(M)} \) où \(\vec{\mathcal{G}}_{(M)} \) est le champ en M
Force électrostatique	Loi de Coulomb \( \vec F_{P \to M} = \displaystyle\frac{q_P \, q_M}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \, \vec e_r \) avec \( r = PM \) \( \vec F_{(M)} = q \, \vec{E}_{(M)} \) où \(\vec{E}_{(M)} \) est le champ en M
Interaction faible	Responsable de la désintégration β et de la fusion nucléaire, unifiée avec l’interaction électromagnétique
Interaction forte	Responsable de la cohésion du noyau (très courte portée)

Conséquences

Force de pesanteur	\( \vec P = m\vec g \)
Force de Laplace	Un conducteur rectiligne AB parcouru par un courant I (de A vers B) et placé dans un champ magnétique uniforme \( \vec B \) subit une force d’origine électromagnétique appliquée en son milieu appelée force de Laplace. \( {\vec F_{Laplace}} = I \, \overrightarrow {AB} \wedge \vec B\)
Loi de Hooke	(spé) \( \)

Modèles

Force de rappel (ressort)	\( \vec F = - k(\vec \ell - \vec \ell _0) \) \(\vec \ell = \overrightarrow {AM} \) A = point d’Attache du ressort \( \vec \ell _0 = \overrightarrow {AM_0} \) pour le ressort au repos Valable dans le domaine d’élasticité du ressort de raideur k
Couple de rappel (fil de torsion)	\( \mathcal{M}_{\Delta\,} = -C \theta \) Valable dans le domaine d’élasticité du fil de constante de torsion C
Tension d'un fil	\( \vec T \) dirigée selon le fil supposé idéal (sans raideur, sans élasticité, sans masse), non conservative mais non dissipative
Action normale d'un support	\( \vec{R}_N \) orthogonale au support non conservative mais non dissipative
Action tangentielle d'un support Frottement solide	\( \vec{R}_T \) tangente au support opposée au glissement telle que : \( \displaystyle\frac{R_T}{R_N} = {f_d} \) si glissement \( \displaystyle\frac{R_T}{R_N} \le {f_S}\) si équilibre f_d et f_s = coefficients de frottement dynamique et statique (sans dimension)
Frottement fluide	\( \vec F \) opposée à la vitesse telle que : \( \vec F = - \alpha \vec v \) « à faible vitesse » \( F = - k v^2 \) « à grande vitesse »

Cinématique

Définitions

Conséquences

Cas particulier

Cinétique

Définitions

Conséquences

Cas particulier

Contraintes extérieures

Description des contraintes

Grandeurs énergétiques

Définitions

Conséquences

Cas particuliers

Lois fondamentales

Lois

Conséquences

Interactions

Interactions fondamentales

Conséquences

Modèles