Formules d'Euler
\( \cos(x)= \displaystyle\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \)
\( \sin(x)= \displaystyle\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \)
Forme algébrique - Forme exponentielle
| Forme algébrique | \( \underline z = a + jb \) |
| Forme exponentielle | \( \underline z = \rho e^{j \varphi} \) |
| Partie réelle | \( \Re(\underline z) = a = \rho \cos \varphi \) |
| Partie imaginaire | \( \Im(\underline z) = b = \rho \sin \varphi \) |
| Module | \( \left| \underline z \right| = \rho = \sqrt{a^2+b^2} \) |
| Argument | \( arg(\underline z) = \varphi = \arctan \displaystyle\frac{b}{a} \) |
Interprétation géométrique
Positions remarquables dans le plan complexe :
| Réel positif \( \underline z_1 = a_1 \) : | \( \varphi_1 = 0 \) |
| Réel négatif \( \underline z_2 = a_2 \) : | \( \varphi_2 = \pm \pi\ \) |
| Imaginaire pur \( j = e^{j \frac{\pi}{2}} \) : | \( \varphi = \frac{\pi}{2} \) |
Grandeurs complexes en physique
Les complexes sont utilisés pour traduire la notion de déphasage
A la grandeur réelle \( u (t) = u_{m} \cos(\omega t + \varphi) \), on associe la grandeur complexe instantanée \( \underline u (t) = u_{m} e^{j(\omega t + \varphi)} \).
On peut encore écrire \( \underline u (t) = \underline u _{m} e^{j \omega t} \) où \( \underline u _{m} = u _{m} e^{j\varphi} \) est l'amplitude complexe.
On représente l'amplitude complexe dans le plan complexe à l'aide d'un vecteur appelé vecteur de Fresnel :
La phase à l'origine φ représente le déphasage de \( u (t) \) par rapport à la tension de référence \( \cos(\omega t) \).
Exemple : on considère un filtre électronique de fonction de transfert \( \underline H = \displaystyle\frac{\underline u_s}{\underline u_e} \) avec \( \underline H = H e^{j \varphi} \).
Les tensions d'entrée et de sortie sont de la forme : \( u_e (t) = u_{em} \cos(\omega t + \varphi_e) \) et \( u_s (t) = u_{sm} \cos(\omega t + \varphi_s) \)
Les amplitudes complexes s'écrivent : \( \underline u_s = u_{sm} e^{j \varphi _s} \) et \( \underline u_e = u_{em} e^{j \varphi _e} \).
En écrivant l'égalité des modules et des arguments des deux membres, on a : \( H = \displaystyle\frac{u_{sm}}{u_{em}} \) et \( \varphi = \varphi _s - \varphi _e \)
\( \varphi \) est donc le déphasage de \(u_s\) par rapport à \(u_e\).
