Champ électrostatique
| Le principe de superposition permet de déduire le champ créé par une distribution du champ créé par une charge. | |
|---|---|
| Charge ponctuelle | \( \vec{E}(M) = \displaystyle\frac{q_P}{4\pi\epsilon_0 PM^2}\vec{u}_{PM} = \frac{q_P}{4\pi\epsilon_0 PM^3}\overrightarrow{PM} \) |
| Distribution discrète | \( \vec{E}(M) = \displaystyle\sum\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{q(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM^3} \ \overrightarrow{PM} \) |
| Distribution continue | \( \vec{E}(M) = \displaystyle \int\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{dq(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM^3} \ \overrightarrow{PM} \) Distribution linéique : \(\vec{E}(M) = \displaystyle \int\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\lambda(P) \ d\ell(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM^3} \ \overrightarrow{PM}\) Distribution surfacique : \(\vec{E}(M) = \displaystyle \iint\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\sigma(P) \ dS(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM^3} \ \overrightarrow{PM}\) Distribution volumique : \(\vec{E}(M) = \displaystyle \iiint\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\rho(P) \ d\tau(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM^3} \ \overrightarrow{PM}\) |
Potentiel électrostatique
| Relations \( \begin{array}{*{20}{c}} {\vec F(M) = \frac{q_P q_M}{4\pi \varepsilon _0 r^2}{\vec e}_{PM}}&{\overset {\overrightarrow F = - \overrightarrow {grad} \,{E_P}} \longleftrightarrow }&{E_P(M) = \frac{q_P q_M}{4\pi \varepsilon _0 r}} \\ {}&{}&{} \\ { \updownarrow \vec F(M) = {q_M}\vec E(M)}&{}&{ \updownarrow {E_P}(M) = qV(M)} \\ {}&{}&{} \\ {\vec E(M) = \frac{q_P}{4\pi \varepsilon _0 r^2}{\vec e}_{PM}}&{\overset {\overrightarrow E = - \overrightarrow {grad} \,V} \longleftrightarrow }&{V(M) = \frac{q_P}{4\pi \varepsilon _0 r}} \end{array} \) | |
|---|---|
| Charge ponctuelle | \( V(M) = \displaystyle\frac{q_P}{4\pi\epsilon_0 PM} + cte\) |
| Distribution discrète | \( V(M) = \displaystyle\sum\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{q(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM} \) |
| Distribution continue | \( V(M) = \displaystyle \int\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{dq(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM} \) Distribution linéique : \(V(M) = \displaystyle \int\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\lambda(P) \ d\ell(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM} \) Distribution surfacique : \(V(M) = \displaystyle \iint\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\sigma(P) \ dS(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM} \) Distribution volumique : \(V(M) = \displaystyle \iiint\limits_{P \in \mathcal{D}} \frac{\rho(P) \ d\tau(P)}{4 \pi \epsilon_0 PM} \) Ces expressions supposent que les disributions sont d'extension spatiale finie. |
Champ et potentiel électrostatiques
| Relation locale | \( \vec{E} = - \overrightarrow{\textrm{grad}} V \) |
| Relation intégrale | Rappel : \(dV = \overrightarrow{grad}V \cdot d\vec{\ell} = -\vec{E} \cdot d\vec{\ell}\) \( U_{AB} = V_A -V_B = \displaystyle\int_B^A dV = \displaystyle\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{\ell} \) |
| Topographie | Le champ est dirigé vers les potentiels décroissants. Le champ est orthogonal aux surfaces équipotentielles (lieu des points M tels que V(M) = cte). |
Symétrie des sources et champs
| Principe de Curie « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. » |
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| Symétries |
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| Antisymétrie |
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Théorèmes
| Théorèmes utilisables dans des situations hautement symétriques | |
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| Théorème de Gauss | Le flux du champ électrostatique \(\vec E\) à travers une surface fermée quelconque (appelée surface de Gauss
et notée \(\Sigma_{Gauss}\)) est égal à la charge contenue dans le volume délimité par la surface de Gauss divisée par \(\epsilon_0\)
(permittivité du vide).
$${\large\bigcirc}\kern-2.9em\iint \limits_{M\, \in \,\Sigma_{Gauss}} {\vec E_{(M)}. \textrm{d} \vec S_{ext}(M)} =
\displaystyle\frac{Q_{\textrm{int à }\Sigma_{Gauss}}}{\epsilon_0}$$
Où \(Q_{\textrm{int à }\Sigma_{Gauss}} = \iiint \limits_{M\, \in \,V_{Gauss}} {\rho_{(M)} \textrm{d} \tau_{(M)}}\)
pour une distribution volumique (\(V_{Gauss}\) est le volume délimité par la surface de Gauss) Rq : \(\textrm{d} \vec S_{ext}(M)\) est le vecteur surface élémentaire dirigé de l'intérieur de la surface vers l'extérieur de la surface. Dans le cas du champ de gravitation \(\vec{\mathcal{G}}(M)\), on a par analogie (\(\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\leftrightarrow -G\)) : $${\large\bigcirc}\kern-2.1em\iint \limits_{M\, \in \,S} {\vec{\mathcal{G}}_{(M)}. \textrm{d} \vec S_{(M)}} = -4 \pi \textrm{G} M_{\textrm{int à }\Sigma_{Gauss}}$$ |
| Théorème d'Ampère | La circulation du champ magnétostatique \(\vec B\) le long d'un contour fermé quelconque (appelé contour d'Ampère
et noté \(\Gamma_{Ampère}\)) est égale à la somme algébrique des courants enlacés par le contour d'Ampère multipliée par \(\mu_0\)
(perméabilité du vide).
$$ \displaystyle\oint\limits_{M \in \,\Gamma_{Ampère} } {\vec B_{(M)} \cdot \textrm{d} \vec \ell _{(M)}} =
\mu_0 \Sigma \overline I_{\textrm{enlacés par }\Gamma_{Ampère}}$$
Où sens du vecteur déplacement élémentaire \(\textrm{d} \vec \ell _{(M)}\) et le signe des courants sont liés par le choix d'un sens positif arbitraire sur le
contour d'Ampère. Une fois choisi le sens positif arbitraire de parcours du contour d'Ampère : - \(\textrm{d} \vec \ell _{(M)}\) est orienté dans le sens positif ; - la règle de la main droite (4 doigts dans le sens +) permet alors de définir un vecteur \(\vec n\) (pouce), les courants sont comptabilisés positivement s'ils percent une surface fictive posée sur le contour dans le sens de \(\vec n\), négativement sinon (nuls si non enlacés par le contour). |
