Tension d'un fil ou d'une corde

Rappel - Développement limité d'une fonction f de la variable x au voisinage de \(x_0\) à l'ordre 2 : \(f(x)=f(x_0)+\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\right)_{x_0 }(x-x_0)+\displaystyle\frac{1}{2!}\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}\right)_{x_0}(x-x_0)^2+\dots+o\left((x-x_0)^2\right)\)
ou encore :
\(f(x_0+h)=f(x_0)+h\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\right)_{x_0 }+\displaystyle\frac{h^2}{2!}\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}\right)_{x_0}+\dots+o\left(h^2\right)\)

En physique, on utilise un tel développement limité pour une fonction f de la variable x à l'ordre 1 en l'écrivant sous la forme :
\(f(x+dx) = f(x) + dx \displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} + o(dx) \) (ici dx joue le rôle de h en mathématiques x joue le rôle de \(x_0\)).
Cette écriture permet d'exprimer \(f(x+dx)\) sous forme approchée : \(f(x+dx) \simeq f(x) + \displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \times dx \)

Prérequis

Regarder la vidéo et noter la définition de la tension d'une corde.
Lire et noter les rappels concernant les développements limités.

Exercices - Tension d'un fil ou d'une corde

Dans tous les cas ci-dessous, on cherche la tension \(\overrightarrow T (z)\) et on présente à chaque fois deux systèmes différents (les deux méthodes sont à connaître).

1. Corde de masse négligeable

Remarque : dire que la masse de la corde (ou sa masse linéique) est négligeable signifie que son poids est négligeable devant les autres forces (vrai si la tension de la corde est grande devant son poids propre).

On considère une corde, verticale, de longueur ℓ, de masse linéique μ négligeable, sans raideur ni élasticité.
Une extrémité de la corde est accrochée en O à un support fixe dans le référentiel terrestre.
Une masse m est accrochée à l'extrémité A de la corde (cf. schéma).
On considère un point M quelconque de la corde (OM = z). La corde et la masse sont à l'équilibre dans le référentiel terrestre.

Corde verticale

1.1 Appliquer la deuxième loi de Newton au système MA et en déduire \(\overrightarrow T (z)\). Commenter.

1.2 On considère le système de longueur dℓ=dz (portion de corde comprise entre les points d'altitude z et z+dz).
- Quelle est sa masse ? En déduire son poids.
- Ce système est soumis à une force de tension en z+dz, \(\overrightarrow T (z+\mathrm d z)\) : la représenter sur le schéma.
- Pour quelle raison la force de tension en z est-elle \(-\overrightarrow T (z)\) ? La représenter.
- Ecrire la deuxième loi de Newton pour ce système et en déduire une équation différentielle. Retrouver \(\overrightarrow T (z)\).

1.3 Si la masse oscille (pendule simple), peut-on dire que la tension est uniforme (i.e. indépendante du point M) ? Constante (i.e. invariable dans le temps) ?

2. Corde de masse non négligeable

On reprend les questions précédentes avec les mêmes hypothèses mais on ne néglige plus la masse linéique μ de la corde.

2.1 Définir la masse linéique.

2.2 Appliquer la deuxième loi de Newton au système MA et en déduire \(\overrightarrow T (z)\) en fonction de μ, ℓ, z, g et \(\vec e _z\).

2.3 Appliquer la deuxième loi de Newton au système de longueur dℓ=dz (portion de corde comprise entre les points d'altitude z et z+dz) et en déduire une équation différentielle. Retrouver \(\overrightarrow T (z)\).

Poulie

Prérequis

Regarder la vidéo.
Mécanique du solide (cf. résumé Formulaire mécanique).

Exercices - Poulie

On considère une poulie de rayon R, d'axe Δ = (O,z), de masse m, de moment d'inertie \(J_\Delta\) par rapport à l'axe Δ, mobile autour de son axe sans frottements. L'axe est fixe dans le référentiel terrestre.
Un fil idéal (sans masse ni raideur ni élasticité) est engagé dans la gorge de la poulie (le fil ainsi que la poulie sont coplanaires). Le fil ne glisse pas sur la poulie. Cf. schéma.

Corde verticale

1. Poulie à l'équilibre

On suppose que l'ensemble est à l'équilibre.

1.2 Effectuer un bilan des forces s'exerçant sur la roue de la poulie.

1.2 Exprimer leurs moments par rapport à l'axe de rotation Δ.

1.3 Appliquer la loi du moment cinétique par rapport à Δ et en déduire une relation entre les tensions exercés par les fils sur la poulie aux points M1 et M2. Commenter.

2. Poulie en rotation

On suppose que l'ensemble n'est plus à l'équilibre, la poulie est en rotation à la vitesse angulaire ω (pas nécessairement constante).
Les frottements sur l'axe sont de la forme \(\mathcal{M}_{\Delta} = -\alpha \omega\) où α est une constante.

2.1 Rappeler l'expression du moment cinétique de la poulie par rapport à l'axe Δ.

2.2 Appliquer la loi du moment cinétique par rapport à Δ et en déduire à quelles conditions (sur la poulie ou sur la vitesse de rotation), il est possible de dire que « la poulie transmet la tension » ?
Comment peut-on définir la poulie idéale ?

3. Application

On considère l'expérience dont le schéma est donné ci-desssous. Les corps A0, A1 et A2, de masses respectives m0, m1, m2 sont reliés par des fils idéaux.
Tous les frottements sont négligés (sauf entre le fil et la gorge de la poulie : le fil ne glisse pas).
La poulie ainsi que le support sont fixes dans le référentiel terrestre.

Expérience

Déterminer l'accélération a0 du corps A0 en fonction des données du problème dans les deux cas suivants :
    - la poulie est de masse nulle ;
    - la poulie possède un moment d'inertie \(J_\Delta\) non nul par rapport à son axe de rotation Δ.

Conseil : appliquer la seconde loi de Newton à chacun des trois corps A0, A1 et A2 (et la loi du moment cinétique pour la poulie dans le second cas) en distinguant bien les différentes tensions qui s'exercent sur chacun d'eux.