Prérequis :

• Résistance thermique et conditions de validité.

Savoir-faire :

• Bilan dans le cas d'un flux radial (conservation du flux à travers un tube de champ judicieusement choisi).
• Analogie thermo-électrique.

1. Résistance thermique
Solution

On cherche une résistance thermique donc on se place en régime permanent car l'analogie thermo-électrique est valable uniquement en régime permanent.
Cette résistance thermique relie puissance thermique (ou flux thermique) et variation de température : \(T_2-T_1=R_{Th}\,\phi\).
Il faut donc établir la loi de température \(T(r)\) (T ne dépend que de la distance à l'axe r par symétrie en négligeant les effets de bord).
En régime permanent le flux thermique est conservatif (\(div \, \vec j_Q=0\) : le flux entrant dans un tube de champ est égal au flux sortant en valeur absolue).
Ici \(\vec j_Q\) est radial, la conservation du flux à travers une surface cylindrique s'écrit \(\phi(r)=\phi(r+dr)=\phi(R_1)=\phi(R_2)\).
On peut également effectuer un bilan d'énergie sur le volume compris entre les cylindres de rayon r et r+dr : \(0=\phi(r)-\phi(r+dr)\).
Comme \(\phi(r)=j_Q(r)\,2\pi r L\), la loi de Fourier donne \(\displaystyle\frac{dT}{dr}=-\frac{\phi(R_1)}{2\pi r L \lambda}\).
L'intégration entre \(R_1\) et \(R_2\) donne : \(R_{Th}=\displaystyle\frac{1}{\lambda 2\pi L}\ln\frac{R_2}{R_1}\).




2. Epaisseur
Solution

Faire le schéma électrique équivalent : deux résistances thermiques \(R_{Th}\) et \(R'_{Th}\) en série traversées par un flux thermique égal à \(\displaystyle\frac{\phi(R_1)}{10}\).
La loi "d'Ohm" donne alors \(R'_{Th}=9R_{Th}\) d'où e'.