Prérequis :

• Expression du flux convecto-diffusif (loi de Newton).
• Résistance thermique et conditions de validité.

Savoir-faire :

• Réaliser un bilan énergétique sur un système mésoscopique.
• Analogie thermo-électrique.

1. \(\delta Q_{ext}\)
Solution

Le flux convecto-diffusif échangé sur la surface latérale du cylindre (en contact avec l'air) est de la forme : \(\delta Q_{ext}=-h\left(T(x)-T_0\right)dS_{latérale}dt\) où \(dS_{latérale}=2\pi a dx\).
Rq : le signe est choisi de façon à ce que \(\delta Q_{ext}\lt 0\) si \(T(x)>T_0\) car le système cède alors de la chaleur à l'extérieur.
En régime permanent, l'énergie interne de la tranche ne varie pas entre t et t+dt.
Le bilan sur la tranche dx s'écrit alors : \(dU=0=\delta Q_{e/s} + \delta Q_{ext}\) où \(\delta Q_{e/s} = -\displaystyle\frac{dj_Q}{dx}d\tau dt\) (flux entrant/sortant par diffusion à travers des sections du cylindre).




2. Equation différentielle
Solution

L'équation différentielle issue du bilan est : \(\displaystyle\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{1}{\ell^2}T=\frac{1}{\ell^2}T_0\) où \(\ell^2=\displaystyle\frac{\lambda a}{2h}\), distance caractéristique de l'évolution de T.




3. \(T(x)\)
Solution

La solution est de la forme \(T(x)=Ae^{-x/\ell}+Be^{x/\ell}+T_0\).
On détermine alors A et B grâce aux conditions aux limites en 0 et en L.




4. Courbes
Solution

La courbe correspondant à \(h_1\) est linéaire, ce profil a été vu en cours pour une barre calorifugée donc \(h_1=0\).
L'équation différentielle \(\displaystyle\frac{d^2T}{dx^2}=0\) correspond bien à un profil linéaire.
En présence de pertes thermiques latérales, en x donné, la température est nécessairement plus petite que lorsque la barre est calorifugée : la courbe est sous la droite précédente.
Et l'écart entre la courbe et la droite est d'autant plus grand que les pertes sont grandes : \(h_3 > h_2 > h_1=0\).




5. Schéma équivalent
Solution

L'analogie thermo-électrique, valable uniquement en régime permanent, s'écrit : \(\Delta T=R_{Th}P_{Th}\) ou bien \(P_{Th}=G_{Th}\Delta T\) (on note indifféremment \(\phi\) ou \(P_{Th}\)).
Rappel : la conductance G est l'inverse de la résistance \(G=\displaystyle\frac{1}{R}\) donc la loi d'Ohm s'écrit \(U=\Delta V=RI\) ou bien \(I=GU\).
On procède comme en électricité : on complète le schéma en indiquant les flux thermiques ("analogues" aux intensités électriques) : le flux entrant est \(\phi(x)\), le flux sortant est \(\phi(x+dx)\) et le flux convecto-diffusif est \(\phi_{ext}\).
Les lois "d'Ohm" aux bornes des résistances thermiques donnent :
a/ \(T(x)-T(x+dx)=R_{cond}dx\,\phi(x+dx)\) et en exprimant \(\phi(x+dx)\simeq\phi(x)\) grâce à la loi de Fourier, on déduit \(R_{cond}=\displaystyle\frac{1}{\lambda \pi a^2}\)
b/ \(\phi_{ext} = G_{fuite}dx\,(T(x)-T_0)\) et en comparant avec l'expression de la question 1, on obtient \(G_{fuite}=2\pi a h\).