Prérequis :

• Source cohérente vs incohérente
• Expressions de la différence de marche et de l'interfrange pour un interféromètre d'Young.
• Formule de Fresnel

Savoir-faire :

• Identification/caractérisation d'une différence de marche à l'aide du théorème de Malus-Dupin.
• Condition de brouillage.

1. Intensité
Solution

Un seul trou : on n’observe pas d’interférences. Chaque source produit une figure de diffraction par un trou circulaire, légèrement décalée l’une par rapport à l’autre.

Rappel : pour réaliser deux sources cohérentes, on dédouble une source unique en réalisant un partage géométrique du front d'onde (trous ou fentes d'Young) ou un partage énergétique (interféromètre de Michelson).




2. Une seule étoile, S" éteinte
   1. Différence de marche \(\delta^{\prime}\)
   Solution

   Il ne faut pas oublier de tenir compte du déphasage avant les trous d'Young : les plans d'onde ne sont pas parallèles au plan des trous.
   Pour la source S", les déphasages avant et après les trous s'ajoutent (trajets passant par O₁ plus longs que ceux passant par O₂ avant et après O₁) : \(\delta '' = \displaystyle\frac{ax}{D} + \frac{a\alpha}{2}\) (indice de l'air pris égal à 1).
   Pour la source S' : \(\delta ' = \displaystyle\frac{ax}{D} - \frac{a\alpha}{2}\).

   
   
   
   2. Intensité
   Solution

   Formule de Fresnel : \(I'(x)=2I_0\left(1+\cos\dfrac{2\pi\delta'}{\lambda}\right)\).

   
   
   
   3. Interfrange
   Solution

   Rappel : le fait de translater une source ponctuelle orthogonalement à l'axe entraîne une translation des franges sur l'écran sans modification de l'interfrange (cf. cours).
   On retrouve donc l'expression de l'interfrange \(\Delta = \dfrac{\lambda D}{a}\).
   A.N. : Δ = 1 mm.

   
   
   
3. Deux étoiles
Solution

Les deux étoiles étant incohérentes, les intensités s'ajoutent : \(I(x)=I'(x)+I''(x)=2I_0\left(2+\cos\dfrac{2\pi\delta'}{\lambda}+\cos\dfrac{2\pi\delta'''}{\lambda}\right)\).
Chaque étoile crée son propre système de franges : les deux systèmes étant potentiellement décalés, ils se brouillent mutuellement.
La condition de brouillage s'écrit : \(\Delta p = p''-p' = m+\frac{1}{2}\) où m est un entier (cette condition exprime que les franges brillantes de l'un des systèmes de franges se superposent aux franges sombres de l'autre).
Le premier brouillage se produit pour \(m = 0\). D'où \(a=\dfrac{\lambda}{2\alpha}\).
A.N. : a = 25 cm.