La force gravitationnelle est une force centrale (i.e. colinéaire à (O,M)) donc son moment en O est nul.
Le théorème du moment cinétique implique alors que le vecteur moment cinétique \(\vec L _O(M/R)\) soit un vecteur constant.
⇒ La direction de \(\vec L _O(M/R)\) est constante donc la trajectoire est plane car à tout instant \(\overrightarrow{OM}\) et \(\vec v (M/R)\) sont
orthogonaux à \(\vec L _O(M/R) = \overrightarrow{OM} \wedge m\vec v(M/R)\).
⇒ La norme de \(\vec L _O(M/R)\) est constante.
En coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire, on en déduit la loi des aires : \(r^2\dot\theta=C\).
On cherche ici à démontrer ou retrouver rapidement l'expression de l'énergie mécanique sur une trajectoire elliptique.
La force gravitationnelle est conservative (elle dérive d'une énergie potentielle : \(\vec F = - \overrightarrow{\textrm{grad}} E_P\))
donc, en l'absence de force dissipative, l'énergie mécanique est constante.
Retrouver ou mémoriser l'expression de E :
Se souvenir que les expressions de l'énergie sur une trajectoire circulaire \( E=-\displaystyle\frac{GmM_T}{2r} \)
et sur une trajectoire elliptique sont les mêmes à condition de remplacer le diamètre 2r par le grand axe 2a : \( E=-\displaystyle\frac{GmM_T}{2a} \).
L'expression de l'énergie pour la trajectoire circulaire se déduit sans problème des expressions de l'énergie mécanique, de l'énergie potentielle
gravitationnelle \(E_{P_{grav}} = -\displaystyle\frac{GmM_T}{r} \) et de la vitesse obtenue à la question 1.
Démonstration de l'expression de E :
D'après l'expression \( E=-\displaystyle\frac{GmM_T}{2a} \), E est liée à \(2a = r_A + r_P\) où \(r_A\) et \(r_P\) sont les valeurs du rayon vecteur \( r = OM \)
respectivement à l'apogée A et au périgée P or, en ces deux points, l'expression de l'énergie en coordonnées polaires est particulièrement simple car r étant extremum en A et P,
\((\dot r)_A = 0\) et \((\dot r)_P = 0\).
Dans ces conditions et en éliminant le terme \(\dot\theta\) à l'aide le la loi des aires, l'énergie E est reliée à r par une équation de degré 2 en r.
La somme des racines d'une équation de degré 2 de la forme \(a x^2 + b x +c = 0\) étant \(\displaystyle\frac{-b}{a}\),
on accède ainsi directement à la valeur de \(r_A + r_P\) en fonction de E, d'où le résultat.
L'impulsion moteur au voisinage du point P est très courte : le satellite passe quasi instantanément de l'énergie de l'orbite circulaire à l'énergie de l'orbite elliptique
sans variation d'altitude (son énergie potentielle est la même en P sur les deux trajectoires) donc la variation d'énergie mécanique se réduit à la variation d'énergie cinétique :
\(\Delta E = \Delta E_C = \frac{1}{2}m\left( v_P^{\prime 2} -v_1^2\right) = -\dfrac{GmM_T}{r_1+r_2}+\dfrac{GmM_T}{2r_1} \).
On en déduit \(v_P^{\prime}\) puis \(\Delta v_1 = v_P^{\prime} - v_1 \).
A.N. : \(\Delta v_1 = 2,2\,\, \si{km} \si [-1]s \).
La vitesse en A est déduite de la conservation du moment cinétique
En P et A, les vitesses sont orthogonales au rayon vecteur donc, en ces points, le moment cinétique est simplement \(L_O(P)=r_P v_P^{\prime}\) et \(L_O(A)=r_A v_A\).
D'où \(v_A = \displaystyle\frac{r_P}{r_A}v_P^{\prime} \).
A.N. : \(v_A = 1,7\,\, \si{km} \si [-1]s \).