Prérequis :

• Lois de Coulomb du frottement solide.
• L'expression "ressort à spires non jointives" signifie que le ressort peut travailler en élongation et en compression (comme un amortisseur de voiture).

Savoir-faire :

• Ecrire une condition de non glissement.
• Résolution d'une équation différentielle du type "oscillateur harmonique" avec second membre ni constant ni harmonique.

1. Expression de \(t_1\)
Solution

Le déplacement du point A provoque la compression du ressort mais la masse M ne se déplacera que lorsque la force exercée par le ressort sera suffisante pour vaincre les frottements solides : tant que \(\left\| \vec T \right\| \lt f \left\| \vec N \right\| = \left\| \vec T \right\|_{max}\), M reste immobile.
L'équilibre vertical donne \(N = mg\).
La force de frottement maximale est donc \(T_{max} = fmg\).
La longueur du ressort est \(\ell = x_0-x_A(t) = \ell_0-x_A(t)\) tant que M est immobile, d'où la force exercée par le ressort : \(F_x(t) = k x_A(t) = k V_0 t \gt 0\).
Le glissement débute à l'instant \(t_1\) pour lequel \(- T_{max} + F_x(t_1) = 0\) (la force exercée par le ressort égale la force de frottement maximale) : \(t_1 = \dfrac{fg}{V_0 \, \omega_0^2}\) avec \(\wo = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\).
Le solide M se met donc en mouvement à l'instant \(t_1\) quand le point A parvient à l'abscisse \(x_A = \dfrac{fmg}{k} = \dfrac{fg}{\woc}\) et comme \(x(t_1) = \ell_0\) la longueur du ressort est alors \(\ell(t_1) = \ell_0 - \dfrac{fg}{\woc} \lt \ell_0\), le ressort est bien comprimé.




2. Mouvement pour \(t \gt t_1\)
Solution

Pour \(t \gt t_1\) (i.e. \(t^\prime \gt 0\)), M glisse et la force de frottement reste constante (\(T = fmg\)) tant que M est en mouvement.
La force exercée par le ressort est : \(F_x = -k \left(x-x_A-\ell_0\right)\) avec \(x_A = V_0 t = V_0 (t^\prime+t_1) = V_0t^\prime + \dfrac{fmg}{k}\).
La seconde loi de Newton donne : \( \ddot x + \woc x = \woc \ell_0 + \woc V_0 t^\prime \).
Remarque : \(\dot x\) désigne aussi bien \(\dfrac{dx}{dt}\) que \(\dfrac{dx}{dt^\prime}\) car \(t^\prime = t - t_1 \Rightarrow dt = dt^\prime\) (translation de l'origine des temps).
La solution est de la forme : \(x(t^\prime) = a \cos(\wo t^\prime) + b \sin(\wo t^\prime) + \ell_0 + V_0t^\prime \) (attention aux solutions particulières).
Compte tenu des conditions initiales : \(x(t^\prime) = \ell_0 + V_0 t^\prime -\dfrac{V_0}{\wo}\sin(\wo t^\prime)\) : le solide avance (terme de translation \(V_0 t^\prime\)) en oscillant (terme \(\dfrac{V_0}{\wo}\sin(\wo t^\prime)\)).




3. Les frottements solides peuvent-ils à nouveau stopper les oscillations (plus durablement qu'au changement de sens des oscillations) ?
Solution

La vitesse du solide est : \(\dot x(t^\prime) = V_0 \left(1-\cos(\wo t^\prime)\right)\).
Elle s'annule en \(t^\prime = 0\) et \(t^\prime = T_0\) avec \(T_0 = \To \) et est maximale en \(t^\prime = \dfrac{T_0}{2}\).
La longueur du ressort est \(\ell(t^\prime) = x(t^\prime) - x_A(t^\prime) = \ell_0 - \dfrac{V_0}{\wo} \sin(\wo t^\prime) - \dfrac{fmg}{k}\).
La force exercée par le ressort est \(F_x(t^\prime) = fmg + k\dfrac{V_0}{\wo} \sin(\wo t^\prime)\) (oscille autour de la valeur \(fmg\)).
La limite du glissement (\(F_x=fmg\)) est donc atteinte à \(t^\prime = \dfrac{T_0}{2}\) mais la vitesse est alors maximale donc le solide continue à glisser bien que (\(F_x \lt fmg\)) car la condition \(\left\| \vec T \right\| \lt f \left\| \vec N \right\| = \left\| \vec T \right\|_{max}\) n'est valable qu'en régime statique puis (\(F_x=fmg\)) est à nouveau atteinte à \(t^\prime = T_0\) où la vitesse s'annulle mais la longueur du ressort est alors la même qu'à \(t_1\) : le mouvement va donc se poursuivre de la même façon.




4. Puissance des frottements
Solution

\(P(\vec T) = \vec T \cdot \dot x \, \ex = -fmgV_0\left(1-\cos(\wo t^\prime)\right) \leq 0\) s'annule avec une période \(T_0\) conforme à l'analyse de la question précédente.
Cette puissance dissipée par les frottements est compensée par le dispositif qui pousse le point A.