Les forces appliquées au système M sont la tension du fil \(\vec T\), le poids \(\vec P\) et la force d'inertie d'entraînement \(\vec f _{ie}(M)\)
(R' étant en translation par rapport à R, la force de Coriolis est nulle).
Comme R' est en translation par rapport à R, tous les points ont même vitesse d'entraînement donc l'accélération d'entraînement
est l'accélération du point A dont la position est donnée par l'énoncé.
\( \vec T \left| \begin{align*} -T \\ 0 \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)
\( \vec P \left| \begin{align*} mg \cos \theta \\ -mg \sin \theta \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)
\( \vec f _{ie} = -m \vec a _{ie} = m p^2 a \sin(pt) \vec u _x = \left| \begin{align*} m p^2 a \sin(pt) \sin \theta \\ m p^2 a \sin(pt) \cos \theta \\ 0 \\ \end{align*} \right. \)
Dans l'approximation des petits angles, en posant \(\omega_0^2 = \displaystyle\frac{g}{\ell} \), l'équation différentielle
s'écrit : \( \ddot \theta + \omega_0^2 \theta = p^2 \displaystyle\frac{a}{\ell} \sin(pt) \).
La solution est de la forme : \( \theta (t) = \theta_{EDH}(t) + \theta_{part}(t) \).
L'équation différentielle homogène (i.e. sans second membre) est celle d'un oscillateur harmonique non amorti dont les solutions
sont de la forme \( \theta_{EDH} (t)=A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t) \) où A et B sont des constantes.
Le second membre est sinusoïdal (donc non constant !), il s'agit d'un régime sinusoïdal forcé. La solution particulière est alors
sinusoïdale et on la détermine en utilisant le formalisme complexe (comme en électricité) : on recherche une solution de la forme
\( \theta_{part}(t) = \underline C e^{j(pt+\phi)} \).
En injectant cette solution dans l'équation différentielle, on obtient :
\( \theta _{part} (t) = \displaystyle p^2 \frac{a}{\ell} \frac{1}{\omega_0^2-p^2} \sin(pt) \).
Finalement \( \theta (t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t) + \displaystyle p^2 \frac{a}{\ell} \frac{1}{\omega_0^2-p^2} \sin(pt) \).
Il reste à déterminer les constantes A et B à l'aide des conditions initiales.