Prérequis :

• Vecteur de Poynting.
• La superposition de deux OPPH n'est pas nécessairement une OPPH.

Savoir-faire :

• Ecrire l'expression d'une OPPH.
• Déterminer le champ magnétique dans le cas d'une superposition d'ondes.

1. \(\vec k_1\) et \(\vec k_2\)
Solution

\(k_1=k_2=k= \dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{\omega}{c}\)




2. Champs électriques
Solution

\(\vec{\underline{E}}_i = E_0 e^{j(\omega t - \vec k_i \cdot \vec r)}\ey\)




3. Onde résultante
Solution

\(\vec{\underline{E}} = \vec{\underline{E}}_1 + \vec{\underline{E}}_2 = 2 E_0 \cos(kx\sin(\alpha)) e^{j(\omega t - k\cos(\alpha)z)}\ey\).
\(\vec E = 2 E_0 \cos(\omega t - k\cos(\alpha)z)\cos(kx\sin(\alpha))\ey\)
Cette onde n'est ni plane ni strictement progressive (produit d'un terme relatif à une progressive selon \(\ez\) et d'un terme relatif à une onde stationnaire).




4. Champ magnétique
Solution

\(\vec{\underline{B}}_i = \dfrac{\vec u_i \wedge \vec{\underline{E}}_i}{c}\) puis somme des deux champs ou bien \(\overrightarrow{rot} \vec E = -\dfrac{\partial \vec B}{\partial t} \).
\(\vec B = \dfrac{2E_0}{c}\left| \begin{array}{l} -\cos\alpha\cos(kx\sin\alpha)\cos(\omega t - kz\cos\alpha) \\ \sin\alpha\sin(kx\sin\alpha)\cos(\omega t - kz\cos\alpha) \\ \end{array} \right.\)




5. Vecteur de Poynting
Solution

\(\langle\vec \Pi \rangle = 2\epsilon_0 c E_0^2 \cos\alpha\cos^2(kx\sin\alpha)\ez\)
Le vecteur de Poynting est dirigé selon \(\ez\) comme le laissait présager le terme relatif une onde progressive suivant \(\ez\).