Prérequis :

• Phénomène d'induction, loi de Faraday, loi de modération de Lenz.
• Force de Laplace.

Savoir-faire :

• Résolution d'une équation différentielle du 1^er ordre avec second membre constant.

1. Induction
Solution

D'après la loi de Faraday, l'apparition d'une force électromotrice d'induction est due à une variation du flux magnétique à travers la surface du circuit.
On distingue deux cas :
- cas de Lorentz : circuit mobile ou déformable dans un champ magnétique stationnaire.
- cas de Neumann : circuit fixe et indéformable dans un champ magnétique variable.
Mathématiquement : \(e=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\) loi de Faraday.
Attention, la f.e.m \(e(t)\), le flux \(\phi(t)\) (le vecteur surface) et le courant induit \(i(t)\) sont liés par une convention de signe (règle de la main droite).




2. Sens du courant induit
Solution

D'après la loi de Lenz (loi de modération), les effets mécaniques, électriques et électromagnétiques de l'induction s'opposent à ses causes.
Dans la situation considérée (cas de Lorentz), le circuit est déformable, sa surface varie, entraînant une variation de flux.
En raisonnant sur les effets mécaniques, on peut affirmer que le sens du courant induit i est tel que la force de Laplace \(\vec F_L\) va s'opposer à la force \(\vec F\) qui met la barre en mouvement, d'où i dans le sens de \(-\vec e_y\) dans la tige mobile.
En raisonnant sur les effets électromagnétiques, le sens du courant induit est tel que le champ magnétique \(\vec B_{ind}\) qu'il crée s'oppose au champ magnétique \(\vec B\) (Rq : \(B_{ind} \ll B\)) et \(\vec B_{ind}\) et i sont liés par la règle de la main droite d'où le sens de i.





3. fem induite et force de Laplace
Solution

Loi de Faraday : \(e(t)=Ba\dot x\).
Force de Laplace : \(\vec F_L=i(t)(-a\vec e_y)\wedge B\vec e_z=-i(t)Ba \vec e_x\).
Rq : il existe des forces de Laplace sur les autres conducteurs du circuit mais elles sont compensées par d'autres forces car ces conducteurs sont fixés.




4. Equations
Solution

Equation de maille : \(e(t)=Ri(t)\)    (1).
Loi de la quantité de mouvement (résultante cinétique, théorème du centre d'inertie) sur la barre en projection sur Ox : \(m\ddot x=-i(t)Ba+F-mg\sin\alpha\)    (2).





5. Vitesse et courant
Solution

(1) \(\Rightarrow i(t)=\displaystyle\frac{Ba}{R}\dot x\).
(2) \(\Rightarrow \dot v+\displaystyle\frac{1}{\tau}v=\frac{F}{m}-g\sin\alpha\) avec \(\tau=\displaystyle\frac{mR}{(Ba)^2}\).
Compte tenu des conditions initiales : \(v(t)=\tau\left(\displaystyle\frac{F}{m}-g\sin\alpha\right)\left(1-e^{-t/\tau}\right)\).
D'où \(i(t)\).