Savoir-faire :

• Analyse asymptotique (i.e. en basse fréquence et en haute fréquence) d'une fonction de transfert afin de déterminer la nature d'un filtre.
• Tracé des asymptotes du diagramme de Bode à partir de l'analyse asymptotique de la fonction de transfert.

1. Nature du filtre
Solution

Diagramme en amplitude : asymptote BF horizontale à \(0 \si{dB}\) et asymptote HF de pente \(-40 \si{dB/décade}\).
Diagramme de phase : asymptote BF horizontale à \(0\) et asymptote HF horizontale à -π.
Il s'agit d'un filtre passe-bas présentant une résonance (d'après l'oscillogramme, \(v_s \gt v_e\) à la fréquence choisie).




2. Caractéristiques du filtre
Solution

Remarque : on constate que l'amplitude de la tension de sortie est plus grande que celle de la tension d'entrée : la fréquence est donc voisine de la fréquence de résonance.
D'après l'oscillogramme, les deux tensions sont en quadrature de phase, or d'après l'expression de la fonction de transfert, ceci ne peut se produire que si le dénominateur est imaginaire pur et donc si \(\omega_0=\omega\).
La période T des signaux est mesurée sur l'oscillogramme : T ≃ 3,3 ms.
D'où \(\omega_0 = \omega = 1,9 \cdot 10^3 \si{rad}\si[-1]{s}\).
L'énoncé précise que \(\underline H(0) = 1\) (cf. dernière phrase) donc \(H_0=1\).
De plus, on mesure sur l'oscillogramme \(\dfrac{v_{Sm}}{v_{em}}=\dfrac{3}{2}\) or \(\underline H(\omega_0) = Q \times H_0\) d'où \(Q=\dfrac{3}{2}\).

Remarque : on démontre qu'il existe une résonance pour les filtres du second ordre pour les valeurs « élevées » du facteur de qualité (i.e. \(Q > \dfrac{\sqrt 2}{2} \simeq 0,7\)).