Prérequis :

• Définition de l'ARQS.
• Théorème d'Ampère.
• Loi de Faraday (induction).

Savoir-faire :

• Calcul du flux d'un champ non uniforme à travers une surface.

1. ARQS
Solution

ARQS : dans le domaine d’extension spatiale ℓ, les phénomènes de propagation sont négligeables si \(\ell \ll cT =\lambda\).
Autrement dit, à chaque instant, les champs peuvent être considérés comme uniformes sur ce domaine (i.e. ils ne dépendent que du temps et non du point M considéré).
Ici \(N \times 4a \ll cT = c/f\) = 6 10⁶ m même si N = 1000 donc l’ARQS est valide.
Remarque : dans un souci de simplification, l'énoncé précise que le courant de déplacement est négligeable dans l'équation de Maxwell-Ampère. En réalité, pour que cette approximation soit valide il faut également supposer que \(\displaystyle\frac{\rho c}{j} \ll 1\) (on parle d'ARQS magnétique). On alors \(\overrightarrow {rot} \vec B = \mu _0\vec j\).




2. \(\vec B (r)\)
Solution

Champ créé par un fil infini : on applique le théorème d’Ampère et on trouve \(\vec B(r) = \displaystyle\frac{\mu _0 i(t)}{2\pi r}\vec e_\theta\).




3. Flux magnétique
Solution

Le flux \(\phi\) du champ \(\vec B\) à travers la bobine plate de N spires est \(\phi = N \phi_{1 \ spire}\).
Attention, le champ \(\vec B(r)\) n’est pas uniforme sur la spire, il faut calculer \(\phi _{1 \ spire} = \displaystyle\iint_{1 \ spire}\vec B(r) \cdot d\vec S\). Pour cela, on oriente arbitrairement la spire (le sens + donne le sens de \(d\vec S\) , ainsi que le sens positif pour la fem induite et le courant induit).
Faire un schéma avec le champ \(\vec B\) en M à la distance r du fil, la surface élémentaire dS et le vecteur \(d\vec S\).
L'élément de surface est \(d\vec S = a\,dr\,\vec e_\theta \).
On trouve \(\phi = \displaystyle\frac{\mu _0 i(t)}{2\pi }Na\ln \frac{d + a}{d}\).




4. Nombre de spires
Solution

D’après l’énoncé, le courant \(i(t)\) peut s’écrire : \(i(t) = I\sqrt 2 \cos \left( 2\pi f\,t + \varphi \right)\).
La loi de Faraday, \(e = - \displaystyle\frac{d\phi }{dt}\), reliant la f.e.m. d’induction \(e(t)\) aux variations du flux permet de relier les grandeurs efficaces E et I : \(E = f\,I\mu _0 Na\ln \displaystyle\frac{d + a}{d}\).
Il faut N = 29 spires pour que E > 1,5 V.