Comprendre
La mécanique est entièrement construite à l'aide de trois unités seulement (m, kg, s) (en bleu sur le schéma) dont les dimensions sont notées [L], [M] et [T].
Conséquence - Théorème fondamental de l'analyse dimensionnelle
(théorème de Vaschy-Buckingham)
L'idée est la suivante. Puisqu'il n'y a que 3 grandeurs de base pour construire la mécanique alors si il existe une relation entre 4
grandeurs A, B, C et D (où A, B et C sont dim-indépendantes*), alors D s'exprime nécessairement
sous la forme \( D = k A^\alpha B^\beta C^\gamma \) où k est un nombre sans dimension (en effet, les seules opérations autorisées entre ces grandeurs
sont multiplication/puissance car il est impossible d'additionner des grandeurs n'ayant pas même dimension).
(*) A, B et C sont dim-indépendantes si il est impossible d'exprimer les dimensions de l'une de ces grandeurs en fonction des deux autres.
Application - Etablir une relation par analyse dimensionnelle
Pour déterminer la relation entre D et A, B, C, on écrit : \( [D] = [A]^\alpha [B]^\beta [C]^\gamma \) en exprimant les dimensions
de A, B, C et D en fonction de [L], [M] et [T].
On cherche ensuite les valeurs de α, β, γ en identifiant les puissances de [L], [M] et [T] dans les deux membres de l'équation.
Exemple - Détermination de la forme de la relation entre la période T des petites oscillations d'un pendule simple et les grandeurs physiques impliquées (a priori) que sont la masse m, la longueur du fil \(\ell\) et le champ de pesanteur \(g\).
m, \(\ell\) et \(g\) sont dim-indépendantes : [m] = [M], [\(\ell\)] = [L] et [g] = [L][T]-2, il est donc impossible de construire les dimensions de g
à partir de celles de m et \(\ell\).
Le théorème fondamental permet alors d'écrire que \(T = k m^\alpha \ell^\beta g^\gamma\) où k est sans dimension.
On en déduit la relation entre les dimensions des deux membres de cette équation :
\( [L]^0 [M]^0 [T]^1 = [L]^{\beta+\gamma} [M]^\alpha [T]^{-2\gamma} \)
Par identification :
\(\left| \begin{array}{l}
\alpha = 0 \\
\beta + \gamma = 0 \\
\gamma = -\frac{1}{2} \\
\end{array} \right.\)
On en déduit les trois coefficients \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) puis la forme de la relation cherchée : \(T = k \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\).
Il reste à déterminer le coefficient k grâce à un modèle théorique ou par des mesures (en l'occurrence la relation est \(T = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\)).
Exercice - The Manhattan Project – Trinity test
La légende voudrait qu’en 1950, Geoffrey Ingram Taylor ait réussi à estimer l'énergie dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information
était classée top secret.
Il lui a suffi pour cela d'observer l'explosion de la bombe sur un film, imprudemment rendu public par les militaires américains.
Estimer littéralement et numériquement l'énergie dégagée par l’explosion à l’aide de la photographie ci-dessus, extraite du film en question, et de la masse
volumique de l’air.