Extrait e3a PC 2008

L'hypothèse du tube de très grande longueur permet d'invoquer une symétrie cylindrique. Ainsi, le vecteur \( \vec j _Q\) est radial et ne dépend que de la distance r.   \( \vec j _Q = - \lambda \left| \begin{align*} & \displaystyle\frac{\textrm{d} T}{\textrm{d} r} \\ & 0 \\ & 0 \\ \end{align*} \right. \)

La puissance (ou flux) à travers un élément de surface dS est :   \(\textrm{d}\mathcal{P}_{Th}=\vec j _Q\cdot\textrm{d}\vec S\).
La diffusion de la chaleur s’effectue ici radialement à travers la surface latérale du cylindre donc \(\textrm{d}\vec S = \textrm{d}S \, \vec e_r\).
La définition du flux \( \mathcal{P}_{Th} = {\large\bigcirc}\kern-2.1em\displaystyle\iint \limits_{M\, \in \,S} {\vec j_Q(M) \cdot \textrm{d} \vec S(M)} \) donne dans ce cas \( \mathcal{P}_{Th} = j_Q(r) S_\text{latérale} \) car \( j_Q(r) \) est constant puisque le rayon r est constant sur la paroi latérale.
On obtient donc :   \( \mathcal{P}_{Th} = 2 \pi r \ell j_Q(r) \).

Système = tranche cylindrique comprise entre r et r + dr de hauteur ℓ (faire un schéma).
Par définition, régime permanent la température de ce système ne varie pas entre deux instants t et t + dt donc son énergie interne ne varie pas : \( \textrm{d}U = C_V\textrm{d}T = 0\). Or δW = 0 (solide indéformable) donc δQ = 0 où δQ est la somme des transferts thermiques à travers les surfaces \( S_r \) et \( S_{r+\textrm{d}r} \).
On a donc \(\delta Q = \left[ {\mathcal{P}_{Th}(r) - \mathcal{P}_{Th}(r + \textrm{d}r)} \right]\textrm{d}t = - \displaystyle\frac{d{\mathcal{P}_{Th}}}{dr}\textrm{d}r\textrm{d}t = 0\) (attention aux signes : \(\textrm{d}\vec S \) orientée vers l’intérieur du système en thermodynamique).
Conclusion : \( \mathcal{P}_{Th} \) est indépendante de r.
Ce résultat est logique, il n’y a ni création ni absorption de chaleur au sein du tube, ni échauffement (régime permanent), le flux est donc indépendant du rayon. C’est la densité de flux \(j_Q(r)\) qui diminue puisque la surface \(S(r)\) augmente mais \(j_Q(r) S(r) = \mathcal{P}_{Th} = \text{cte}\). Ce résultat exprime la conservation du flux à travers une surface fermée en régime permament.

En utilisant les questions 1*c et 1*d, on peut écrire \( \mathcal{P}_{Th} = - \lambda 2 \pi r \ell \displaystyle\frac{\textrm{d}T}{\textrm{d}r}\).
Comme \( \mathcal{P}_{Th} \) est constante, l'intégration entre r de \(r = R_1\) à r donne l'expression de la température en fonction de la distance à l'axe du cylindre : \(T(r) = T_1 + \displaystyle\frac{\mathcal{P}_{Th}}{2\pi \ell \lambda} \ln \frac{R_1}{r}\).

Pour \(r = R_2\) cette l'expression donne : \( \mathcal{P}_{Th} = \displaystyle\frac{2\pi \ell \lambda }{\ln \frac{R_1}{R_2}} \left( T_2 - T_1 \right) \).
On a donc \( g = \displaystyle\frac{2\pi \ell \lambda }{\ln \frac{R_1}{R_2}} \).
Rq : gℓ est la conductance thermique (g est la conductance thermique par unité de longueur) (valable uniquement en régime permanent, voir cours).

\( g = 41 \,\, \textrm{kW} \, \textrm{m}^{-1} \, \textrm{K}^{-1} \)