Choix des composants

Comment choisir les valeurs des composants ?

Contraintes pratiques :

L'inductance et la résistance interne de la bobine varient avec la fréquence (effet de peau qui augmente avec la fréquence N), la fréquence caractéristique du circuit (\(N_0=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) en ordre de grandeur) doit donc être fixée aux alentours de 10 kHz.
Comme la valeur de l'inductance L est déterminée par la bobine utlisée, la valeur de la capacité C du condensateur se déduit de L et \(N_0\).
Le GBF peut être modélisé par une source de Thévenin de résistance interne \(r = 50 \Omega\) : il faut donc choisir \(R \gg r\) afin d'éviter un effet diviseur de tension aux bornes du GBF.

Circuit RLC série, trois composants, plusieurs applications :

filtre passe-bande en prenant \(u_s\) aux bornes de R ;
filtre passe-bas aux bornes de C ;
filtre passe-haut aux bornes de L ;
on peut aussi prendre \(u_s\) aux bornes de deux composants...

Caractéristiques du circuit RLC série :

facteur de qualité : \(Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\) (caractérise la capacité du circuit à osciller ainsi que l'acuité de la résonance) ;
fréquence de résonance du passe-bande : \(N_0=\dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) (il peut exister une résonance pour le passe-haut et le passe-bas si \(Q \gt \dfrac{1}{\sqrt 2}\) et alors \(N_{res} \simeq N_0\) dès que \(Q \gt 2\) en pratique) ;
bande passante du passe-bande : \(\dfrac{\Delta N}{N_0} = \dfrac{1}{Q} \) (filtre d'autant plus sélectif que le facteur de qualité est élevé).

Remarque : dans le cas d'un circuit passe-bande, il existe une contradiction entre la contrainte sur R et la nécessité d'un facteur de qualité élevé.

Contraintes

Circuit RLC série passe-bas d'ordre 2

Ordres de grandeurs « typiques » en électronique :

\(L \simeq \textrm{quelques dizaines de mH} : 20 \leq L \leq 100 \textrm{mH}\) (Inductances bobinées, bobines de transformateur...)
\(C \simeq \textrm{quelques dizaines de nF} : 10 \leq C \leq 200 \textrm{nF}\)
\(R \simeq \textrm{quelques dizaines de k}\Omega : 1 \leq R \leq 100 \textrm{k}\Omega\)

Modélisation du GBF par une source de Thévenin.

GBF « à vide » : Modèle de GBF on a donc \(u_e (t) = e(t)\).

GBF relié à un circuit modélisé par une résistance R : Modèle de GBF dans ce cas \(u_e (t) = \dfrac{R}{r+R}e(t) \neq e(t)\).

Remarque : \(u_e (t) = \dfrac{R}{r+R}e(t) \mathop \rightarrow \limits^{R \gg r} e(t)\) donc \(u_e (t) \simeq e(t)\) lorsque \(R \gg r\).

Régime sinusoïdal forcé

Balayage en fréquence

Avant d'effectuer toute mesure, il est essentiel de vérifier que le circuit se comporte bien comme le filtre souhaité.

Diagramme de Bode vs diagramme asymptotique

Rappels

Fonction de transfert : \(\underline{H}=\displaystyle\frac{\underline{u}_S}{\underline{u}_e}\).
Gain : \(G = |\underline H |\) ; gain en décibels : \(G_{dB} = 20\log|\underline H |\).

Conséquences

Un gain nul en dB (G_dB = 0) correspond à u_S = u_e donc le signal est transmis.
G_dB → -∞ correspond à u_S → 0 donc le signal est bloqué.

Etude asymptotique

Comportements limites de L et C en fonction de la fréquence : fil ou interrupteur ouvert ?

Condensateur

Bobine

Comportements limites du circuit en fonction de la fréquence.

Circuit en basse fréquence

Circuit en haute fréquence

Filtres (exercices corrigés, applets)

Régime transitoire

Successions de régimes transitoires

Oscillations ou non

Pour simuler une succession de régimes transitoires, on règle le GBF en signal carré de fréquence très inférieure à la fréquence caractéristique du circuit de façon à ce que le circuit atteigne un état quasi stationnaire sur chaque demie période du signal carré.
En agissant sur la résitance, on modifie le facteur de qualité sans modifier la fréquence des oscillations, on peut alors observer les différents régimes de relaxation du circuit, de la relaxation oscillante à la relaxation apériodique.
En agissant sur la capacité, on modifie la fréquence d'oscillation ainsi que le facteur de qualité.

Applet Applet Régime transitoire